Parodykite, kad aritmetinėje progresijoje [tex]1,\;730,\;1459,\;2188,...[/tex] yra begalo daug 10 lapsnių t.y [tex]\exists[/tex] begalo daug [tex](n,k)\in\mathbb{N}^2[/tex], kad $1+729(n-1)=10^k$.
Jadvyga +135
Pakanka parodyti, kad lyginys $$10^k\equiv 1 \pmod{3^6}$$ turi be galo daug sprendinių. Pagal Eulerio teoremą $$10^{2\cdot 3^5}\equiv 1\pmod{3^6},$$ taigi pirmajame lyginyje užtenka imti $k=2\cdot 3^5\cdot l$, $l\in\mathbb{N}$.
pakeista prieš 5 m
lelius +976
Gerai.
pakeista prieš 5 m
Jadvyga +135
Jeigu niekas nesupyks, įkelsiu du uždavinius, antrąjį tam, kad lelius turėtų ką veikt. 1) Įrodykite, kad $$13|(2^{70}+3^{70})$$ (šis teiginys netgi turi pavadinimą Kraitchik'o teorema). 2) Skaičiai, kurių pavidalas $T_n=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$, $n\in\mathbb{N}$, vadinami tetraedriniais. Įrodykite, kad egzistuoja didėjanti begalinė tetraedrinių skaičių seka, kurios bet kurie du skirtingi nariai yra tarpusavyje pirminiai.
pakeista prieš 5 m
Jadvyga +135
Teisingai. Gal įkelk naują uždavinį, o su tais tetraedriniais skaičiais tegul dorojasi kas nori.
lelius +976
Tarkime a, b, c yra kraštinės prieš atitinkamai kampus A, B, C. Tada [tex]S=\frac{ab}{2}\sin C=\frac{ac}{2}\sin B=\frac{bc}{2}\sin A[/tex]. Tarkim, h - trikampio aukštinė nuleista į c. Tada [tex]S=\frac{ch}{2}[/tex] ir $$\sin A+\sin B+\sin C=\frac{2S}{ab}+\frac{2S}{ac}+\frac{2S}{bc}.$$ Kadangi [tex]\frac{h}{a}=\sin B, \frac{h}{b}=\sin A \Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{h}, \frac{1}{b}>\frac{1}{h}[/tex], tai $$\frac{2S}{ab}+\frac{2S}{ac}+\frac{2S}{bc}>\frac{c}{h}+1+1>2$$
Sokolovas PRO +1046
Radau tokį ilgą įrodymą http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=111576
Sokolovas PRO +1046
Aš nepretenduoju į nieką. Tiesiog radau, ir tiek...
mathfux PRO +286
Sunku du dalykai: atsistebėti, kokį didelį greitį šis maratonas įgavo ir į jį įsitraukti :D
Nors uždaviniai ir taip čia pasidarė pakankamai įvairūs, tačiau pasinaudosiu proga ir įtrauksiu dar vieną žanrą, kuris čia nepasitaiko.
Raskite visas funkcijas $f:\mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}$, kurios visiems $x,y\in \mathbb{R}$ tenkina lygybę $f(x+yf(x))=f(x)+xf(y)$
pakeista prieš 5 m
Sokolovas PRO +1046
Nusiramink, Karoli, jokių nuorodų aš nedėsiu. Nesakau, kad aš gerai padariau. Prisipažįstu, nereikėjo. Bet taip ilgai bei audringai niršti dėl to irgi nederėtų.