eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Matematikos Maratonas Nr. 3

Parodykite, kad aritmetinėje progresijoje [tex]1,\;730,\;1459,\;2188,...[/tex] yra begalo daug 10 lapsnių t.y [tex]\exists[/tex] begalo daug [tex](n,k)\in\mathbb{N}^2[/tex], kad $1+729(n-1)=10^k$.

0

Pakanka parodyti, kad lyginys
$$10^k\equiv 1 \pmod{3^6}$$
turi be galo daug sprendinių. Pagal Eulerio teoremą
$$10^{2\cdot 3^5}\equiv 1\pmod{3^6},$$
taigi pirmajame lyginyje užtenka imti $k=2\cdot 3^5\cdot l$, $l\in\mathbb{N}$.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-17

0

Gerai.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-17

0

Jeigu niekas nesupyks, įkelsiu du uždavinius, antrąjį tam, kad lelius turėtų ką veikt.
1) Įrodykite, kad
$$13|(2^{70}+3^{70})$$
(šis teiginys netgi turi pavadinimą Kraitchik'o teorema).
2) Skaičiai, kurių pavidalas $T_n=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$, $n\in\mathbb{N}$, vadinami tetraedriniais. Įrodykite, kad egzistuoja didėjanti begalinė tetraedrinių skaičių seka, kurios bet kurie du skirtingi nariai yra tarpusavyje pirminiai.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-17

1

Teisingai. Gal įkelk naują uždavinį, o su tais tetraedriniais skaičiais tegul dorojasi kas nori.

0

Tarkime a, b, c yra kraštinės prieš atitinkamai kampus A, B, C. Tada
[tex]S=\frac{ab}{2}\sin C=\frac{ac}{2}\sin B=\frac{bc}{2}\sin A[/tex]. Tarkim, h - trikampio aukštinė nuleista į c. Tada [tex]S=\frac{ch}{2}[/tex] ir $$\sin A+\sin B+\sin C=\frac{2S}{ab}+\frac{2S}{ac}+\frac{2S}{bc}.$$ Kadangi [tex]\frac{h}{a}=\sin B, \frac{h}{b}=\sin A \Rightarrow \frac{1}{a}>\frac{1}{h}, \frac{1}{b}>\frac{1}{h}[/tex], tai $$\frac{2S}{ab}+\frac{2S}{ac}+\frac{2S}{bc}>\frac{c}{h}+1+1>2$$

0

Radau tokį ilgą įrodymą
http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=111576

0

Aš nepretenduoju į nieką. Tiesiog radau, ir tiek...

0

Sunku du dalykai: atsistebėti, kokį didelį greitį šis maratonas įgavo ir į jį įsitraukti :D

Nors uždaviniai ir taip čia pasidarė pakankamai įvairūs, tačiau pasinaudosiu proga ir įtrauksiu dar vieną žanrą, kuris čia nepasitaiko.

Raskite visas funkcijas $f:\mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}$, kurios visiems $x,y\in \mathbb{R}$ tenkina lygybę $f(x+yf(x))=f(x)+xf(y)$

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-11-18

0

Nusiramink, Karoli, jokių nuorodų aš nedėsiu.
Nesakau, kad aš gerai padariau. Prisipažįstu, nereikėjo. Bet taip ilgai bei audringai niršti dėl to irgi nederėtų.

0

Šioje temoje naujų žinučių rašymas yra išjungtas!