Aplink apskritą stalą sėdi 24 riteriai. Kiekvienas jų yra susipykęs su abiem savo kaimynais. Reikia išrinkti 9 riterius užburtai princesei vaduoti, tačiau tarp jų negali būti priešų. Keliais būdais galima išrinkti 9 riterius?
Gera atmintis :) Pats visai pamiršau. Kitas uždavinys. Turime lentelę $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dotsb & 9 & 10\\ a(1) & a(2) & a(3) & \dotsb & a(9) & a(10)\\ |a(1)-1| & |a(2)-2| & |a(3)-3| & \dotsb & |a(9)-9| & |a(10)-10| \end{pmatrix}, $$ čia $a(1), a(2), \dotsb, a(10)$ žymi bet kokią skaičių $1, 2, \dotsb, 10$ perstatą. Ar egzistuoja tokia perstata $a$, kad trečiojoje eilutėje gautume visus sveikuosius skaičius nuo $0$ iki $9$ (jie gali eiti nebūtinai iš eilės)?
lelius (+976)
Ne, nes sveikųjų skaičių, nuo 0 iki 9, suma yra nelyginis skaičius, o modulių suma visada lyginis skaičius. Iš tikrųjų, kadangi
$$0=\sum_{k=1}^{10} a(k)-\sum_{k=1}^{10} k$$
ir $$|a(k)-k|\equiv (a(k)-k)\mod{2}$$
pakeista prieš 7 m
DEMO +1000
Teisingai.
lelius (+976)
Apibrėžkime teigiamų skaičių seką: $a_0=1,\,\,a_n=2+\sqrt{a_{n-1}}-2\sqrt{1+\sqrt{a_{n-1}}}$. Rasite $$\sum_{k=1}^{\infty}a_k2^k$$
Jadvyga (+135)
Pastebėkim, kad $$a_n=(1+\sqrt{a_{n-1}})-2\sqrt{1+\sqrt{a_{n-1}}}+1=\bigg(\sqrt{1+\sqrt{a_{n-1}}}-1\bigg)^2$$ ir dabar nesunku rasti, kad $$a_n=\bigg(2^{1/2^n}-1\bigg)^2.$$ Be to pastebėkim, kad eilutės $\sum_{n=1}^{\infty}a_n2^n$ $n$-toji dalinė suma $$S_n=2^2+(2+2^2+\dotsc+2^n)-2^{n+1}\cdot 2^{1/2^n}=2+2\cdot\frac{1-2^{1/2^n}}{1/2^n}.$$ Pritaikę Liopitalio taisyklę gausim, kad $$\lim_{n\to\infty}\frac{1-2^{1/2^n}}{1/2^n}=\lim_{k\to 0}\frac{1-2^k}{k}=\lim_{k\to 0}(-2^k\ln{2})=-\ln{2},$$ taigi $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n2^n=2-2\ln{2}.$$
Jadvyga (+135)
Jeigu viskas gerai, naują uždavinį perleidžiu įkelti kitiems.