Matematikos Maratonas Nr. 3

Taisyklės atnaujintos.

Raskite [tex]a_1*a_2*...*a_n[/tex], jei [tex]a_1=1,\;a_{n+1}*a_{n}=4(a_{n+1}-1),\;n≥1[/tex].

Sveiki maratono dalyviai,

Atsiprasau, kad neikeliau sprendimo. Maciau kad uzdavinys buvo neissprestas, todel galvojau duosiu daugiau laiko. Keista kad niekas net nebande sprest. Gerai gavosi, kad per mane taisykles atnaujintos.

Pagarbiai,

Milkyway

Pertvarkome rekurentinę formulę:
[tex]a_{n+1}=\dfrac{4}{4-a_{n}}[/tex]      (1)
Kai [tex]n=2k,  k∈N[/tex], įrodykime, kad:
[tex]a_{2k}=\dfrac{4k}{2k+1}[/tex]        (2)
Šią lygybę įrodykime matematinės indukcijos metodu:
Patikriname, ar lygybė teisinga, kai [tex]k=1[/tex]:
Pagal rekurentinę formulę (1) gauname:
[tex]a_{2}=\dfrac{4}{4-a_{1}}=\dfrac{4}{4-1}=\dfrac{4}{3}[/tex]
Pagal įrodinėjamą formulę (2):
[tex]a_{2\cdot 1}=\dfrac{4\cdot 1}{2\cdot 1+1}=\dfrac{4}{3}[/tex]
Lygybė teisinga.
Darome prielaidą, jog lygybė (2) teisinga, kai [tex]k=x[/tex], tai yra teisinga lygybė [tex]a_{2x}=\dfrac{4x}{2x+1}[/tex]
Tada remiantis šia prielaida ir  (1) formule turėtų būti teisinga lygybė [tex]a_{2x+1}=\dfrac{2x+1}{x+1}[/tex]
Įrodykime, jog lygybė (2) teisinga, kai [tex]k=x+1[/tex]:
Remdamiesi (1) formule gauname:
[tex]a_{2(x+1)}=\dfrac{4}{4-a_{2x+1}}=\dfrac{4}{4-\dfrac{2x+1}{x+1}}=\dfrac{4(x+1)}{2x+3}=\dfrac{4(x+1)}{2(x+1)+1}[/tex]

Įrodėme, kad: [tex]a_{2k}=\dfrac{4k}{2k+1}[/tex]
Vadinasi teisinga ir lygybė: [tex]a_{2k+1}=\dfrac{2k+1}{k+1}[/tex]
Tuomet su visomis [tex]k∈N[/tex]:
[tex]a_{2k}\cdot a_{2k+1}=\dfrac{4k}{2k+1}\cdot \dfrac{2k+1}{k+1}=\dfrac{4k}{k+1}[/tex]
Todėl, kai [tex]n=2k,  k∈N[/tex]:
[tex]a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ... a_{n-1}=\prod\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} \dfrac{4k}{k+1}=\dfrac{4^{\frac{n}{2}-1}\cdot (\frac{n}{2}-1)!}{(\frac{n}{2}-1+1)!}=\dfrac{4^{\frac{n}{2}-1}\cdot (\frac{n}{2}-1)!}{(\frac{n}{2})!}=\dfrac{2^{n-2}}{\frac{n}{2}}=\dfrac{2^{n-1}}{n}[/tex]
Pagal (2) formulę:
[tex]a_{n}=\dfrac{2n}{n+1}[/tex]

Vadinasi:
[tex]a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ... \cdot a_{n}=\dfrac{2^{n-1}}{n}\cdot \dfrac{2n}{n+1}=\dfrac{2^{n}}{n+1}[/tex]      ,kai [tex]n=2k,  k∈N[/tex]

Jei [tex]n=2k-1,  k∈N[/tex], tai:
[tex]a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ... \cdot a_{n}=\prod\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \dfrac{4k}{k+1}=\dfrac{4^{\frac{n-1}{2}}\cdot (\frac{n-1}{2})!}{(\frac{n-1}{2}+1)!}=\dfrac{2^{n-1}}{\frac{n-1}{2}+1}=\dfrac{2^{n}}{n+1}[/tex]    ,kai [tex]n=2k-1,  k∈N[/tex]

Taigi viską apibendrinę teigiame, jog:
[tex]a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ... \cdot a_{n}=\dfrac{2^{n}}{n+1}[/tex]    ,kai [tex]n∈N[/tex]

Šaunu :) Viskas gerai.

Duotas rombas ABCD, kurio įstrižainės kertasi taške O, o jų ilgiai lygūs BD = 1 ir AC = 5 cm. Įstrižainėje AC pažymėtas taškas E taip, kad AE=OE, o kraštinėje CD taškas F taip, kad DF=FC. Raskite kampą tarp tiesių EB ir EF laipsniais vienetų tikslumu.

[tex]E=(-1,25;0),F=(0,25;1,25),\vec{EF}=(0,25;2,5),\vec{EB}=(-0,5;1,25)[/tex]
[tex]x[/tex] - kampas, tarp [tex]\vec{EF}[/tex] ir [tex]\vec{EB}[/tex]
[tex]\cos{x}=\frac{-0,5*0,25+2,5*1,25}{\sqrt{(0,25)^2+(2,5)^2}*\sqrt{(-0,5)^2+(1,25)^2}}=\frac{3}{\sqrt{11,44140625}} \Rightarrow x=27,51^o[/tex]
Ats.: [tex]28^o[/tex]

Teisingas atsakymas :)

Raskite [tex]DBD(11111111, \underbrace{11...11}_{\text{100 vienetų}}\;)[/tex]

DBD galime rasti pasinaudodami tuo, jog:
[tex]DBD(a,at+b)=DBD(a,b)[/tex]
Pavyzdžiui [tex]DBD(12;58)=DBD(12;12\cdot 4+10)=DBD(12;10)=DBD(10;10\cdot 1+2)=DBD(10;2)=DBD(2;2\cdot 5+0)=DBD(2;0)=2[/tex].

Vadinasi bendru atveju: [tex]DBD(\underbrace{11..1}_{m};\underbrace{11..1}_{n})[/tex], kur m<n.
Turime, kad (kol antrasis poros narys yra didesnis):
[tex]DBD(\underbrace{11..1}_{m};\underbrace{11..1}_{n})=DBD(\underbrace{11..1}_{m};\underbrace{11..1}_{m}\cdot 10^{n-m}+\underbrace{11..1}_{n-m})=DBD(\underbrace{11..1}_{m};\underbrace{11..1}_{n-m})[/tex]        (1)

Tačiau DBD taip pat galima rasti ir pasinaudodami tuo, jog:
[tex]DBD(a,b)=DBD(a,b-a)[/tex], kur b>a.                      (2)
Jeigu vietoje (1) lygybėje esančių skaičių rašytume skaitmenų, iš kurių tie skaičiai sudaryti, kiekį gautume, jog:
[tex]DBD(m;n)=DBD(m;n-m)[/tex], kur n>m 
Gavome teisingą lygybę visoms m ir n reikšmėms (n>m), pagal (2) lygybę.

Vadinasi [tex]DBD(\underbrace{11..1}_{m};\underbrace{11..1}_{n})[/tex] lygus skaičiui, kuris sudarytas vien tik iš vienetų, o jų kiekis tame skaičiuoje lygus: [tex]DBD(m;n)[/tex].
Mūsų konkrečiu atveju:
[tex]m=8,n=100[/tex]
[tex]DBD(\underbrace{11..1}_{8};\underbrace{11..1}_{100})=\underbrace{11..1}_{DBD(8;100)}=\underbrace{11..1}_{4}=1111[/tex] .