Tarkime, duoti teigiami realieji skaičiai [tex]a_2,a_3,...,a_n[/tex], [tex]n\geq3[/tex] ir [tex]a_2a_3...a_n=1[/tex]. Įrodykite, kad $$(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n>n^n.$$
pakeista prieš 6 m
Jadvyga (+135)
Turime, jog \begin{align*} \prod_{k=2}^n(1+a_k)^k&=\prod_{k=2}^n\bigg(\underbrace{\frac{1}{k-1}+\dotsb+\frac{1}{k-1}}_{k-1 \text{ kartų}}+a_k\bigg)^k\geq\prod_{k=2}^n\bigg(k\cdot \sqrt[k]{\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}}\bigg)^k\\ &=\prod_{k=2}^n\frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}a_k=n^n. \end{align*} Lygybė šioje nelygybėje negali būti pasiekta (lygybė pasiekiama tada ir tik tada, kai $a_k=\frac{1}{k-1}$ visiems $k=2, 3, \ldots, n$, tačiau tuomet $a_2a_3\dotsb a_n\neq 1$). Taigi \begin{gather*} \prod_{k=2}^n(1+a_k)^k>n^n. \end{gather*}
lelius (+976)
Gerai.
Jadvyga (+135)
Naujas uždavinys bus susijęs su paskutiniu prieš tai mano įkeltu uždaviniu (kurį išsprendė Sokolovas).
Tarkime $a$ ir $m>0$ - sveikieji skaičiai, $\text{dbd}(a, m)=1$, o $c$ ir $h\geq 0$ - realieji skaičiai. Pažymėkim $$S=\displaystyle\sum_{x=0}^{m-1}\bigg\{\frac{ax+\psi(x)}{m}\bigg\},$$ kur funkcija $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ visoms nagrinėjamoms $x$ reikšmėms $x\in\{0, 1, \ldots, m-1\}$ tenkina sąlygą $c\leq \psi(x)\leq c+h$. Įrodykite, kad $$\bigg|S-\frac{1}{2}m\bigg|\leq h+\frac{1}{2}.$$
lelius (+976)
a) Raskite visus natūraliuosius n, kad $$7|2^n-1.$$ b) Įrodykite, kad su jokiu natūraliuoju n $$7|2^n+1.$$
Jadvyga (+135)
a) Visi trejeto kartotiniai (jei $n=3k$, $k\in\mathbb{N}$, tai $2^n-1=8^k-1\equiv 1-1=0\pmod{7}$, o jei $n=3k+1$ arba $n=3k+2$, tai $2^n-1$ moduliu $7$ lygsta atitinkamai $1$ ir $3$ ir todėl šiais dviem atvejais $n\not|2^n-1$).
b) Kai $n=3k$, $3k+1$ ir $3k+2$, tai $2^n+1$ moduliu $7$ lygsta atitinkamai $2$, $3$ ir $5$, taigi visiems $n\in\mathbb{N}$ $n\not|2^n+1$.