eMatematikas.lt
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Matematikos Maratonas Nr. 4

Raskite minimalią reiškinio $x^2+y^2+z^2$ reikšmę, jei $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$.

0

Šį uždavinuką manau įveiktų tik keletas mūsų šalies moksleivių, bet jo sprendimo idėja nėra sudėtinga. Prieš surašydamas sprendimą duosiu keletą užuominų.

• Kiekvieniems dviems skaičiams iš rinkinio $a+b+c$, $ab+bc+ca$, $a^2+b^2+c^2$ porai egzistuoja nesudėtingas įvertis. Pvz. $(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)$
• Skaičių $x^3+y^3+z^3$ (kaip ir visus kitus simetrinius daugianarius) galima išreikšti per elementariuosius daugianarius $x+y+z$, $xy+yz+zx$ ir $xyz.$ Aš tai padaryčiau remdamasis man reikiamais atskliaudimais:

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=x^3+y^3+z^3+x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2;$
$(x+y+z)(xy+yz+zx)=x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz;$
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx;$

ir gaučiau rezultatą:

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz$

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!