Matematikos testų sprendimo online kūrimas

Nukritęs žinių lygis. Ar tai tikrai konvencinis argumentas, siekiant nuversti matematiką?

Nebūtinai. Aš tik norėjau pabrėžti mūsų argumentų prieštaringumą. Galbūt aiškiau būtų diskutuoti, jei įvertintume ne vieną poziciją, o skirtingas. Jei žiūrime iš tos nedidelės mažumos, kuri gali suprasti įrodymais ir aibių teorija grįstą samprotavimą, perspektyvos, tuomet jiems toks mokymas tikrai tinkamas. Tačiau jei žiūrime demokratiškai ir orientuojamės į bendrą rezultatą, tai sukilimas dėl to, kad mokiniai mokosi aksiomas, kurių pavadinimus vos ištaria, nesugebėdami atlikti elementarios matematikos veiksmų, man atrodo suprantamas. Tuomet kažin ar būtų galima laikyti produktyviu tokį mokymą, kuris didžiajai daliai moksleivių dabartyje yra neproduktyvus, bet tikimasi, jog ateityje būtų, jei jie pasistengtų, skirtų laiko ir t.t. Iš pradžių reikia sutarti, į ką mes orientuojame mokymą ir jo problemas - ar tik į gabiuosius, ar į visus.

Grįžtant prie mūsų dabartinės mokyklos, tai aukštas pažymys iš matematikos rodo tik gerą gebėjimą atkartoti matematines procedūras. Tačiau nerodo, kuo tas gebėjimas grįstas: ar atmintimi, ar jų paaiškinimų pagalba ar abiem dalykais. Mano patirtis dirbant su moksleiviais rodo, kad vien atmintimi grindžiamas gebėjimas atkartoti procedūras atsimuša į lubas ir aukštus pažymius gauti prireikia neproporcingai daug pastangų. Be to remdamasis Richard Skemp teorija galiu pasayti, jog moksleivio, apsiribojančio vien procedūrų atkartojimu, motyvacija yra tiesiog kitokia. Jis gali justi paskatą toliau mokytis ne tada, kai pavyksta prasmingai sujungti idėjas norint suprasti procedūrą, o tada, kai pavyksta sėkmingai pasiekti atsakymą.

matau, kad mokinių moralinis stovis (mokyklos ribose) t.y. pagarba mokytojui, sau, klasiokui, išsilavinimo vertinimas, jo svarbos suvokimas, intelektas, kantrybė, sąžiningumas yra kritę.

Su šiuo teiginiu sutinku. Juk mokinių moralės kėlimas į jokį programinį dalyką neįtrauktas. Sunku ugdyti moralę tikioje aplinkoje, kurioje įprasta pataikauti ir apsimetinėti. Čia aš apsiriboju tik ties tuo, ką galime nuveikti matematikoje: atkreipti dėmesį į tai, jog moralinėms moksleivių savybėms didelę įtaką daro ir emocijos, kurias moksleiviai patiria savo susidūrime su matematika. Pagal tą pačią R. Skemp teoriją:
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \begin{array}{c}\text{Motyvacijos} \\ \text{varomoji jėga}\end{array} & \begin{array}{c} \text{Emocijos, patirtos} \\ \text{išsprendus}\end{array} & \begin{array}{c} \text{Emocijos, patirtos} \\ \text{neišsprendus}\end{array} \\ \hline \text{Baimė susimauti} & \text{Saugumo jausmas} & \text{Tolimesnis nerimas} \\ \hline \text{Noras pažinti} & \text{Pasitikėjimas} & \text{Frustracija*}\\ \hline \end{array}$
(*) $\tiny{\text{Čia frustracija yra tolimesnis bandymas išspręsti padidinus pastangas.}}$
Jeigu įgytos žinios yra tik procedūrinės, kaip įprasta dabar mokykloje, tai per kurį laiką ne tik kad išsivysto matematikos baimė, bet ši baimė stabdo troškimą išmokti ir mąstyti ne kaip kitaip, o tik procedūriškai (mokantis procedūras, o ne keliant klausimus). Toks mąstymas suteikia moksleiviams saugumo. Kitu atveju mokymosi proceso kryptis priešinga: patyrus minėtas teigiamas emocijas noras mąstyti procedūriškai tampa mažas. Galima būtų pateikti metaforą, jog mąstymo pobūdis sąveikauja su emocijomis panašiai kaip elektrinis laukas sąveikauja su magnetiniu: vienam pasikeitus kitas liks tos pačios krypties, bet tik kuriam laikui.

Galiausiai lieka tik apibendrinti, kokias žinias reiktų suteikti moksleiviams, kad jų patirtos emocijos keltų moralę. Norint, jog emocijos mokantis matematiką būtų teigiamos visai nebūtina jos sužaidybinti, paversti pseudomatematika ir pan. Taip pat nereikia pradėti mokymo nuo griežto matematinio samprotavimo (procedūrinio mąstymo priešingybės) tokio, kokį mes dabar, gerai matematiką bemokantys, pažįstame, kitu atveju didžiajai daliai moskleivių ne tik pasėsime baimę, bet ir priversime juos netikėti savo jėgomis bei atsidurti nemokšų vietoje. Mano siūlomas kelias yra matematinį samprotavimą paversti mokykliniu, tai yra tokiu, kuris būtų suderintas su palaipsniui besivystančiais moksleivių gebėjimais, vedančiais link matematinio įrodymo pažinimo.

P.S. samprotavimo pavertimo mokykliniu pavyzdį pateikiau kalbėdamas apie neigiamų skaičių taisykles. Jis viso labo turi atsižvelgti į mąstymo vystymosi etapus, kurie mums, gerai suprantatiems matematiką, nesiskiria. Nematau priežasčių, kodėl tokį mokymo pakeitimą būtų galima laikyti pataikavimu moksleiviams. Juolab šis pakeitimas netrukdo nepataikauti nemokšoms ir tinginius palikti pataisų, kas jau būtų tolimesni pedagoginiai moralės kėlimo aspektai.

Nepadaryti elementarių matematikos veiksmų yra natūralu.

Minčiai sukonkretinti galiu pateikti kritinį atvejį, kai moksleiviai mokosi adityvumo, multiplikatyvumo, asociatyvumo, distributyvumo ir kt. sąvokas pradinėse klasėse, tačiau tų dėsnių taip ir neišmoksta. Šių sąvokų pavadinimų atsisakymas mokantis jas iš pradžių ir knygose vartojamų sudėtingesnių žodžių draudimas yra skirtingi dalykai. Ir sukilti reikia ne tada, kai iš pirmo karto išmokti nepavyksta, o kai daugumos moksleivių žinios per netinkamą mokymą atsilikti ima keliomis klasėmis. Nežinau, kam čia reikia brukti iškraipytas mano mintis į argumentų vietą.

Pažymys padeda orientuotis, kiek dar tau reikėtų pasimokyti.

Mano pateiktame R. Skempo teorijos pavyzdyje atsispindi, kad tai teisinga tik tai daliai moksleivių, kurie yra motyvuoti noro pažinti. Kitai daliai, kurių motyvacija yra nemalonumų (ėjimo prie lentos, prastų pažymių ir t.t.) vengimas, pažymys tampa baimės šaltiniu, mažinančiu norą pažinti.

Matematika yra suprantamiausias mokslas, nes matematikoje dalykai nusakomi konkrečiai ir aiškiai.

Konkrečiai ir aiškiai matematikoje dalykai nusakomi tik tų žmonių akimis, kurių galimybė suprasti įvairius matematinius objektus ir sąryšius jau išsivystė. Konkretūs ir aiškūs teiginiai, kuriems nereikia taip gerai išvystyto gebėjimo suprasti, pateikiami kituose dalykuose. Tuo tarpu norint įsiminti ir suprasti matematinę medžiagą žinias reikia nuolat rekonstruoti, t.y. ilgas operacijas įsiminti būdais, reikalaujančiais vis mažiau atminties.

Pavyzdys, rodantis kad matematikoje dalykai nenusakomi konkrečiai ir aiškiai: net tokios sąvokos kaip ,,šaknis" supratimas mokymosi eigoje privalo keistis. Iš pradžių ją mes suvokiame kaip procesą, turintį rezultatą. Vėliau gali kilti prieštaravimas, kad tas procesas niekad neturės galo. Krūva moksleivių šioje vietoje patiria konfliktą imdami klasifikuoti šaknis į ištraukiamas ir neištraukiamas, kol tik patys gabiausi pripranta šaknimi disponuoti kaip su abstrakcija (teigiamo skaičiaus, kurio kvadratas lygus tam, iš kurio traukiama šaknis), o ne kaip procedūra, kuri turi atsakymą arba ne. Taigi, įvairūs matematiniai terminai yra ir procesai, kurių rezultatai mus domina, ir abstrakcijos, kurių rezultatai mūsų nedomina. Moksleiviams šioje vietoje trūksta konkretumo ir minėtas moksleivio perėjimas nuo proceso ligi abstrakcijos turi vystytis palaipsniui. Teigti, kad šioje pažintyje su šaknimi viskas konkretu ir aišku visiems moksleiviams yra klaidinga.

Mathfux, kilo klausimas: kaip jūs įsivaizduojate 12 metų planą, kalbant apie matematikos mokymą? Nuo kelintos klasės galima būtų pradėti mokyti įrodinėjimo ir kodėl?

Įrodinėjimo manau galima mokyti nuo penktos klasės jo kiekį su kiekviena klase vis didinant. Įrodinėjimo mokymo būtinoji sąlyga yra pilnas susipažinimas sū objektais ir jų operacijomis, todėl tas susipažinimas turi eiti iš pradžių (POR - perception, action, reasoning). Realiai šią klasifikaciją galime taikyti ir kiekvienai matematikos sričiai, ir kiekvienai mokomai sąvokai. Pavyzdžiui iš pradžių vektorius yra objektas, išlaikantis kryptį ir ilgį. Klausiame, kuo jis skiriasi nuo kitų objektų ir kuo su jais panašus (Perception). Po to moksleiviai atlieka įvairius veiksmus, pvz. sudeda du vektorius, apskaičiuoja jų ilgį, vektorius pailgina arba sutrumpina kažkiek kartų (Action). Ilgainiui jie turi išmokti atliktus veiksmus užrašyti operacijų pagalba, t.y. žinoti, kas įvyksta su koordinatėmis atliekant veiksmus (Operation). Na ir tik galiausiai galima eiti prie įrodymų, pvz. įrodyti, jog vektorių sudėtis komutatyvi arba bet kuris vektorius plokštumoje yra išreiškiamas kitais dviem nekolineariais su juo ir vienas kitu vektoriais (Reasoning). Tiesa, su įrodomų teiginių prasme, mano nuomone, reikėtų susipažinti, kol dar atliekami veiksmai. Pavyzdžiui tam, jog sudėdami vektorius, juos galime sukeisti vietomis, iš pradžių būtinas ne įrodymas, o šio teiginio pajautimas atliekamų veiksmų (Actions) pagalba. Susipažįstant su kitais objektais, galima naudoti nebūtinai veiksmus, o perkeltines prasmes. Pvz. sveikųjų skaičių daugybos atveju galima vieną skaičių laikyti parodančiu, kiek kartų kažkas gauta arba išvengta, o kitą skaičių laikyti uždarbio arba skolos dydžiu.

Ką iš esmės keistumėte matematikos programose?

Dalykus palikčiau tuos pačius, tačiau atsisakyčiau moksleivių gebėjimų skirstymo pagal kompetencijas, kurias įgyti reiškia išmokti reikalaujamas procedūras. Laiko, skiriamo procedūroms mokytis pamokų metu, sumažinčiau perpus, o likusį laiką skirčiau kitiems mąstymo etapams, kurių aprašymą pateikiau.

Ką iš esmės keistumėte mokykliniuose uždavinynuose: kaip tai atsispindėtų testuose, jeigu tokius sukurtumėte šiam forumui?

Iš pradžių niekaip, nes pirmiausia testai būtų skirti moksleiviams, mokytojams ir korepetitoriams kuo geriau ir greičiau pažinti dabartinius 5-12 klasių reikalavimus išvengiant nesubalansuotų pagal temas uždavinių ar uždavinių iš antrų lūpų darymo. Ir tik tada, turint reikalavimus kaip orientyrą, kokias procedūras moksleiviai turi išmokti, pagalvoti apie tokias testų užduotis, kurios ugdo mano aprašytą procedūrų supratimą pagal mąstymo etapus. Užduotys galėtų būti ir Kengūros tipo, tik su griežtu uždavinių skirstymu į atskiras sritis. Manau, kad turi būti aiškus skirtumas tarp to, kas programiška ir to, kas neprogramiška.

Vektorių pražioje pateikiate kaip objektą, išlaikantį ilgį ir kryptį. Ar sąmoningai nemimėjote tiesės atkarpos sąvokos?

Sąmoningai. Labai svarbu atskirti, jog vektorius turi ilgį taip, kaip atkarpa, bet skiriasi nuo atkarpos, nes turi ir kryptį. Todėl vektorių sudėtis nuo atkarpų sudėties dažniausiai skiriasi, kaip ir kitos operacijos. Be to, sprendžiant uždavinius su vektoriais atsiranda konfliktai, kuriuos būtina išspręsti norint judėti pirmyn. Pavyzdžiui suprasti, kam lygu $\vec{AB}+\vec{AC}$ kažkodėl nebepavyksta žymėti dviejų rodyklių, išeinančių iš to paties taško. Mokiniui reikia šį dalyka suprasti, o ne iškalti vektorių sudėties taisykles. Atsiranda labai daug mokinių, kuriem šis pirmosios pažinties konfliktas pažintyje su vektoriais lemia pralaimėjimą, po kurio jie grįžta į taisyklių mokymąsi.

Kokį teiginį duotumėte įrodyti penktokui?
Gal lyginis sk. + lyginis sk. = lyginis sk.?

Jei lyginiai/nelyginiai skaičiai programoje, taip. Šis teiginys pirmąsyk išgirdus turėtų būti sudėtingas. Tačiau vėliau susipažįstant su pačiu lyginio skaičiaus objektu galime pasakyti, kad paskutinis skaitmuo turi būti 0,2,4,6,8. Pageidautina tuo įsitikinti patiem moksleiviams, o ne iškalti taisyklę. Galima ir kitokia prieiga - lyginiai skaičiai kaip aibė objektų, kuriuos galime sugrupuoti po du. Tuomet tiek dirbant su aibėmis, tiek su skaitmenimis išeitų įsitikinti, jog lygybė teisinga. Svarbiausia - neskubėti ir nesugadinti šio atradimo proceso, kurį vaikai turi patirti patys. Ir tik galiausiai, mano galva turėtų sekti formalizavimas, t.y. lygybės $(2n+1)+(2m+1)=2(n+m+1)$ panaudojimas. Tačiau šio dalyko pateikti negalima, jeigu atskliaudimas neįėjo prieš tai į programą. Tai ir skatina mane kuo geriau susipažinti su nuosekliu mokyklinės programos turiniu.