Treniruotė abiturientui. Pasiruoškime egzaminui kartu.

Mažiausias įmanomas atstumas tarp laivų ≈ 3.254 mylių, todėl atsakymas - nebus.

Teisingai

Iš [tex]n[/tex] apskritimo taškų atsitiktinai parenkami keturi taškai A,B,C,D. Apskaičiuokite tikimybę, jog stygos AB ir CD susikirs.

Trikampio ABC kampas A dvigubai didesnis už kampą B, o prieš tuos kampus esančios kraštinės atitinkamai lygios 6 cm ir 4 cm. Raskite trečiąją trikampio kraštinę.

Būtų įdomu pamatyti laivo sprendimą. :Dd

Brėžinį labai tingiu braižyti, bet įsivaizduok stajųjį trikampį. Laivo A ir laivo B nuplaukti keliai - statiniai. Trumpiausias kelias tarp laivų bus trikampio įžambinė, kurią pažymėkime - x.

Taigi,
statinio, kuriuo plaukia laivas A, ilgis: 6 * t (t - laikas valandomis)
statinio, kuriuo plaukia laivas B, ilgis: 5 - 7 * t

Įžambinės ilgį kaip funkciją galime išreikšti: [tex] f(t)=\sqrt{(5-7t)^2\cdot(6t)^2}[/tex]

Lieka rasti funkcijos minimumą ir patikrinti, ar trumpiausias įmanomas atstumas yra trumpesnis negu 1 mylia.

t - laikas, per kurį nuplaukė laivai;

[tex]S(t) = \sqrt{(6t)^2 +(5-7t)^2} = \sqrt{85t^2 - 70t + 25}[/tex]
Randame mažiausią reikšmę:
[tex](\sqrt{85t^2 - 70t + 25})' = 0[/tex]
[tex]\frac{170t - 70}{2*(85t^2 - 70t + 25)} = 0[/tex]

Sistema:
[tex]170t = 70[/tex]
[tex]85t^2 - 70t + 25 = 0[/tex]

[tex]t  ≈ 0.41[/tex]
[tex]t ∈ R[/tex] (parabolė nekerta OX ašies, nes D < 0)
Kai [tex]t ∈ (-{\displaystyle \infty } ;  0.41)[/tex], tai [tex]S'(t) < 0[/tex], o
kai [tex]t ∈ (0.41 ; {\displaystyle \infty })[/tex], tai [tex]S'(t) > 0[/tex]

Įsitikinome, kad t - minimumas.

Įsistatome į funkciją t reikšmę ir gauname atsakymą:
[tex]S(0.41) ≈ 3.3 [/tex]

Trikampio ABC kampas A dvigubai didesnis už kampą B, o prieš tuos kampus esančios kraštinės atitinkamai lygios 6 cm ir 4 cm. Raskite trečiąją trikampio kraštinę.

passenger jau įkėlė, bet čia gal dar kiek bus detaliau ir aiškiau.

Patogumo dėlei įsiveskime koordinačių sistemą. Tegu abu laivai yra taškuose, kurie yra ant Ox ašies, o taškas A sutampa su koordinačių pradžios tašku, tada: [tex]A(0;0)\space B(5;0)[/tex].
Abscisių ašis nukreipta rytų kryptimi, o ordinačių - šiaurės. Vadinasi laivas A praėjus laikui [tex]t[/tex] plaukdamas greičiu [tex]6\space m/h[/tex] bus taške, kurio koordinatės [tex]A'(0;-6t)[/tex]
O laivas B praėjus laikui [tex]t[/tex] plaukdamas greičiu [tex]7\space m/h[/tex] bus taške, kurio koordinatės [tex]B'(5-7t;0)[/tex]
Tuomet atstumas tarp laivas praėjus laikui [tex]t[/tex] lygus: [tex]A'B'=\sqrt{36t^2+(5-7t)^2}[/tex]
Taigi dabar turime rasti kada funkcija [tex]d(t)=\sqrt{36t^2+(5-7t)^2}[/tex] įgyja savo mažiausią reikšmę.
Tuo tikslu skaičiuojame išvestinę, kurią prilyginame 0 ir gauname:
[tex]d'(t)=\dfrac{72t-14(5-7t)}{2\sqrt{36t^2+(5-7t)^2}}=0[/tex]
Randame vieną kritinį tašką:
[tex]t=\dfrac{7}{17}[/tex], kuris patikrinus yra minimumo taškas, o kartu ir funkcijos [tex]d(t)[/tex] mažiausia reikšmė visoje apibrėžimo srityje, nes daugiau kritinių taškų nėra.
Randame, jog mažiausia galima [tex]d(t)[/tex] reikšmė yra:
[tex]d(\dfrac{7}{17})≈3,25[/tex]
Tai yra mažiausias atstumas, kuriuo šie laivai priartės vienas prie kito, taigi jie negalės priimti signalų.

Trikampio ABC kampas A dvigubai didesnis už kampą B, o prieš tuos kampus esančios kraštinės atitinkamai lygios 6 cm ir 4 cm. Raskite trečiąją trikampio kraštinę.

Gaunu, kad 18.5 cm.

Aš gavau 5 cm, bet, passenger, tu gali žinoti, kad tai nėra teisingas atsakymas vien iš to, kad trečioji kraštine yra ilgesnė už pirmą ir antrą kartu sudėjus.