Matematikos Maratonas Nr. 4

Leliau, kelk naują uždavinį :)

Raskite visus natūraliuosius x, kad $$p(x)=x^2-10x-22,$$
kur [tex]p(x)[/tex] skaičiaus x skaitmenų sandauga.

1. Iš pradžių pastebėkim, kad joks skaičius, turintis daugiau negu du skaitmenis, negali tenkinti lygties $p(x)=x^2-10x-22$. Tikrai, jei $x$ yra $n$-ženklis skaičius, kur $n\geq 3$, tai
\begin{gather*}
p(x)\leq 9^n.
\end{gather*}
Kita vertus, jei $x$ yra $n$-ženklis, tai $x\geq 10^{n-1}$, be to funkcija $f(x)=x^2-10x-22$ yra didėjanti intervale $(5;\; \infty)$, todėl, nagrinėjamu atveju,
\begin{gather*}
    x^2-10x-22\geq 10^{2n-2}-10^{n}-22> 9^n
\end{gather*}
(tikrai, jei $n\geq 3$, tai
\begin{gather*}
    10^n+9^n+22<2\cdot 10^n+22< 2\cdot 10^{2n-3}+8\cdot 10^{2n-3}=10^{2n-2}\Rightarrow\\
    10^{2n-2}-10^{n}-22> 9^n).
\end{gather*}

2. Vienženklių skaičių, tenkinančių nagrinėjamą lygtį, taip pat nėra (nes lygtis $x=x^2-10x-22$ natūraliųjų sprendinių neturi).

3. Rasime visus dviženklius skaičius, tenkinančius duotą lygtį. Vėlgi, pastebėkim, kad joks dviženklis skaičius $\geq 20$ netenkina šios lygties. Tikrai, jei $20\leq x\leq 99$, tai
\begin{gather*}
    p(x)\leq 9^2.
\end{gather*}
Kita vertus, intervale $20\leq x\leq 99$
\begin{gather*}
    x^2-10x-22\geq 20^2-10\cdot 20-22>9^2.
\end{gather*}
Taigi, jei lygtis ir turi dviženklių sprendinių, tai jie yra pavidalo $x=\overline{1b}=10+b$, kur $b\in\{0, 1, 2, \ldots, 9\}$. Įstatę šią $x$ išraišką į nagrinėjamą lygtį, gauname
\begin{gather*}
    b=(10+b)^2-10(10+b)-22.
\end{gather*}
Pastaroji lygtis turi tik vieną tinkamą sprendinį $b=2$.

Taigi

Ats.: $12$.

Atsakymas geras. Panašu, kad sprendimas irgi geras. Užskaitau.

Įrodykite, kad $\forall n\in\mathbb{N}$
\begin{gather*}
(2^n-1)^2|2^{(2^n-1)n}-1.
\end{gather*}

$$2^{(2^n-1)n}-1=(2^n-1)(\sum_{k=0}^{2^n-2}2^{nk}).$$
Akivaizdu, kad pastarasis reiškinys dalus iš [tex]2^n-1[/tex], tad lieka parodyt, kad $$A=\sum_{k=0}^{2^n-2}2^{nk}$$
dalinasi iš [tex]2^n-1[/tex]. Parodykim, kad [tex]2^n-1|A-(2^n-1)[/tex], kai [tex]n\geq 2[/tex]:$$\sum_{k=0}^{2^n-2}2^{nk}-(2^n-1)=\sum_{k=1}^{2^n-2}(2^{nk}-1)=(2^n-1)\sum_{k=1}^{2^n-2}\sum_{l=0}^{k-1}2^{nl}.$$ Kadangi [tex]2^n-1|A-(2^n-1)[/tex] ir [tex]2^n-1|(2^n-1)[/tex], tai [tex]2^n-1|A[/tex]. Kai [tex]n=1[/tex], tai akivaizdu, kad [tex]1|A[/tex]. Įrodyta.

Užskaityta!

Norėčiau praleisti ėjimą.

Išspręskite lygtį:
[tex](x-2)\sqrt{4x-x^{2}}+\sqrt{3}=0[/tex]

Sprendimas: Lygties kintamojo x leistinųjų reikšmių aibė yra [0; 4], todėl galime keist kintamąjį
[tex]x= 4cos^{2}t[/tex]
[tex]t=arccos\frac{\sqrt{x}}{2}\in [0;\frac{\pi }{2}][/tex]
Tuomet lygtis įgyja pavidalą
[tex](4cos^{2}t-2)\sqrt{16cos^{2}t-16cos^{4}t}+\sqrt{3}=0[/tex]
[tex]8cos(2t)cost sint=-\sqrt{3}[/tex]
[tex]sin(4t)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Intervale [tex]t\in [0;\frac{\pi }{2}][/tex]
lygtis turi tik du sprendinius.
[tex]t=\frac{\pi }{3}[/tex], arba [tex]t=\frac{5\pi }{12}[/tex]
Atitinkamos x reikšmės
[tex]x=1[/tex] arba [tex]x=2-\sqrt{3}[/tex]
Atsakymas: [tex]{1; 2-\sqrt{3}}[/tex]