NAUJAS UŽDAVINYS: Dviejų teigiamų skaičių a ir b harmoniniu vidurkiu yra vadinamas dydis [tex]\frac{2ab}{a+b.}[/tex] Raskite visus NATŪRALIŲJŲ skaičių dvejetus (a, b), kurių koordinačių a ir b aritmetinis vidurkis yra 18 vienetų didesnis už harmoninį vidurkį.
Sokolovas PRO +1046
SPRENDIMAS: Nagrinėjame lygtį: [tex]\frac{a+b}{2}=\frac{2ab}{a+b}+18.[/tex] t.y [tex](a+b)^{2}=4ab+36(a+b)[/tex] Pakeitę kintamuosius [tex]a+b=u,[/tex] [tex]a-b=v,[/tex] gausime: [tex]u^{2}=u^{2}-v^{2}+36u[/tex] t.y. [tex]v^{2}=36u.[/tex] Kadangi u ir v yra sveikieji skaičiai, tai [tex]u=k^{2}[/tex] [tex]v=6k[/tex] Čia k-bet koks SVEIKASIS skaičius. Gauname lygčių sistemą [tex]a+b=k^{2}[/tex] [tex]a-b=6k.[/tex] Kadangi a ir b sveikieji, tai k turi būti lyginis, t.y. [tex]k=2t[/tex] t-sveikasis skaičius. Tuomet gauname [tex]a+b=4t^{2}[/tex] [tex]a-b=12t[/tex] Iš čia gauname [tex]a=2t^{2}+6t[/tex] [tex]b=2t^{2}-6t[/tex] Kadangi a ir b turi būti natūralieji skaičiai, tai lieka pareikalauti, kad [tex]|t|\geq 4[/tex] ATSAKYMAS: [tex](2t^{2}+6t, 2t^{2}-6t), t\in Z,|t|\geq 4[/tex]
Sokolovas PRO +1046
NAUJAS (dviejų dalių) UŽDAVINYS: 1. Įrodykite, kad NATŪRALIŲJŲ SKAIČIŲ AIBĖJE lygtis [tex]x+y+z=xyz[/tex], kai [tex]1\leq x\leq y\leq z[/tex] turi tik vieną sprendinį. 2. Apie vienetinį apskritimą (r=1) apibrėžtas trikampis, kurio kraštinių ilgiai yra natūralieji skaičiai. Apskaičiuokite šio trikampio kraštinių ilgius.
Sokolovas PRO +1046
SPRENDIMAS: 1) Kai x=1: y+z+1=yz (y-1)(z-1)=2 Kadangi 1≤y≤z, tai pastarosios lygties (kai x=1) sprendinys natūraliųjų skaičių aibėje yra vienintelis: (1, 2, 3). Mėginsime ieškoti kitų sprendinių, t.y. kai 1<x≤y≤z. Akivaizdu, jog tuomet x+y+z≤3z, t.y. xyz≤3z, xy≤3. Tačiau, kai x≥2, y≥2, joks natūraliųjų skaičių dvejetas (y, z) tokios nelygybės netenkins. Taigi, lygtis x+y+z=xyz, kai 1≤x≤y≤z, natūraliųjų skaičių aibėje turi vienintelį sprendinį (1, 2, 3). Įrodyta.
Sokolovas PRO +1046
2) Tegu trikampio, apibrėžto apie spindulio r=1 apskritimą, kraštinių ilgiai yra a, b, c. Pagal Herono formulę [tex]pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] t.y [tex]p=(p-a)(p-b)(p-c)[/tex] Pažymėsime p-a=x, p-b=y, p-c=z Kadangi p=x+y+z, tai gauname lygtį x+y+z=xyz, kuri, kaip mums jau yra žinoma, turi vienintelį sprendinį (1, 2, 3). Tad p=x+y+z=6, a=6-1=5, b=6-2=4, c=6-3=3. Atsakymas: 5, 4, 3.
Sokolovas PRO +1046
NAUJAS UŽDAVINYS Funkcija f(x) yra apibrėžta atkarpoje [0; 4], ir šioje atkarpoje turi tolydžią išvestinę [tex]f{}'(x)[/tex] Įrodykite, jog atkarpoje [0; 4] yra bent vienas taškas c toks, kad [tex]f{}'(c)-1\leq (f(c))^{2}[/tex]
lelius +976
Pastebėkim, kad $$\frac{f'(x)}{1+(f(x))^2}=(\text{arctg}(f(x)))'.$$ Remiantis Lagranžo vidutinės reikšmės teorema, turime: $$\frac{f'(c)}{1+(f(c))^2}=\frac{\text{arctg}(f(4))-\text{arctg(f(0))}}{4}<\frac{\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})}{4}=\frac{\pi}{4}<1$$ arba $$f'(c)-1<(f(c))^2,$$ kur [tex]c \in [0;4][/tex].
Sokolovas PRO +1046
Gerai.
lelius +976
Kiek yra aibės [tex]\{1,2,...,49,50\}[/tex] poaibių, kurių elementų suma būtų nemažesnė negu 638?
EgEg +339
Sios aibes visu elementu suma 50*51/2=1275, aibe is viso turi 2^50 poaibiu. Sias poaibes galima sugrupuoti taip, kad poros elementu suma butu 1275. Kadangi 1275/2=637.5, tai kiekvienoje poroje bus po viena poaibe, kurios elementu suma nemazesne negu 638. Tai is viso poaibiu, kuriu elemtentu suma nemazesne negu 638 yra 2^50/2=2^49