Matematikos Maratonas Nr. 4

Trūko parodyti, kad vienintelis atvejis kada šaknų suma šiame konkrečiame reiškinyje gali būti natūralusis skaičius, tai kai pošakniai yra natūraliųjų skaičių kvadratai. Iš tiesų, tai net nebūtina nagrinėti šio reiškinio, tas pats galioja ir bet kuriai sumai $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Aišku.

Sudėdami skaičius $a, b, c, d$ ir $e$ visais galimais būdais po keturis, gauname penkias sumas
\begin{gather*}
    a+b+c+d,\; a+b+c+e,\; a+b+d+e,\; a+c+d+e,\; b+c+d+e.
\end{gather*}
Pagal sąlygą visos šios sumos yra skirtingos. Imdami pirmąją ir antrąją sumą, gauname, jog
\begin{gather*}
a+b+c+d\neq a+b+c+e\Rightarrow d\neq e.
\end{gather*}
Analogiškai imdami iš šių penkių sumų visais įmanomais būdais po dvi sumas, gauname, jog visi skaičiai $a, b, c, d$ ir $e$ yra paporiui skirtingi. Nemažindami bendrumo tarkime, jog $a<b<c<d<e$.

Sudėdami skaičius $a, b, c, d$ ir $e$ visais galimais būdais po tris gauname dešimt štai tokių sumų, kurias pažymėsiu $A_i$, $i=1, 2, \dotsb, 10$:
\begin{gather*}
    A_1=a+b+c,\; A_2=a+b+d,\; A_3=a+b+e,\; A_4=a+c+d,\; A_5=a+c+e,\\
    A_6=a+d+e,\; A_7=b+c+d,\; A_8=b+c+e,\; A_9=b+d+e,\; A_{10}=c+d+e.
\end{gather*}
Atsižvelgdami į tai, kad $a<b<c<d<e$, gauname, jog
\begin{gather*}
    A_1<A_2<A_3<A_5<A_6<A_9<A_{10},
\end{gather*}
taigi skaičiai $A_1, A_2, A_3, A_5, A_6, A_9$ ir $A_{10}$ - tai ir yra tos skirtingos septynios sumos, o skaičiai $A_4$, $A_7$ ir $A_8$ sutampa su kažkuriomis iš šių septynių sumų. Turime, jog
\begin{gather*}
    A_1<A_2<A_3<A_5<\underline{A_8}<A_9<A_{10},
\end{gather*}
todėl $A_8=A_6\Rightarrow a-b-c+d=0$ (čia ir toliau pabraukimai skirti tik tam, kad būtų lengviau atskirti, kurie skaičiai mums labiausiai rūpi). Be to
\begin{gather*}
    A_1<A_2<\underline{A_4}<A_5<A_6<A_9<A_{10},
\end{gather*}
taigi $A_4=A_3\Rightarrow b-c-d+e=0$. Galiausiai
\begin{gather*}
    A_1<A_2<A_3=A_4<\underline{A_7}<A_8=A_6<A_9<A_{10},
\end{gather*}
taigi $A_7=A_5\Rightarrow a-b-d+e=0$. Todėl turime, jog
\begin{align*}
a+b+c+d+e&=a+b+c+d+e-12(a-b-c+d)\\
        &+8(b-c-d+e)+16(a-b-d+e)\\
        &=5(a+b+c-7d+5e),
\end{align*}
vadinasi nagrinėjamų skaičių suma dalijasi iš $5$.

Šis sprendimas teisingas. Netrumpai užtrukau jį tikrindamas. Man atrodo paskutinei lygybei gauti reikėtų lygčių sistemų, su kuriomis dabar užsiiminėja mūsų studentai, bet tikrai ne septintokai.

Pamatęs šį uždavinį netrumpai pats jį sprendžiau ir svarbiausios kliūtys, kurias reikėjo įveikti, buvo šie pastebėjimai:

• Prasminga pasižymėti, kad $a<b<c<d<e$
• Egzistuoja abipusė atitiktis tarp kiekvienos lygybės tarp sumų po tris narius ir kiekvienos lygybės tarp sumų po du narius: $$x+y+z=z+t+u \Leftrightarrow x+y=t+u$$
• Toliau galima tęsti su nelygybėmis $a+b<a+c<a+d<a+e<b+e<c+e<d+e$ ir $b+c<b+d<c+d$. Nustačius, kurie skaičiai sutampa, darbo lieka, tik ne tiek daug.

Kam norisi atrasti šio uždavinio sprendimą patiems, tačiau gal būt sunkiai sekasi, siūlau pirmiausia pradėti nuo šių užuominų

Gali, Lukai, įkelti naują uždavinį, o aš dar noriu pasiklausti dėl šito:

Įrodykite, kad kiekviename 16 teigiamų skirtingų sveikųjų skaičių, nedidesnių už 100, rinkinyje yra 4 tokie skaičiai $a,b,c,d$, kad $a+b=c+d$.

Man nesigauna, reiktų bent užuominų.

Raskite visus tokius $n, k\in\mathbb{N}$, kad
\begin{gather*}
n!+8=2^k.
\end{gather*}

mathfux, vietoj sumų nagrinėk skirtumus. Taip pat atkreipk dėmesį, kad jei x-y=z-x ir x-a=b-x, tai y+z=a+b.

lukasm uždavinio sprendimas:
Padalinę [tex]n!+8=2^k[/tex] abi puses iš 8 gaunam: [tex]\large \frac{n!}{8}+1=\frac{2^{k}}
{8}=2^{k-3}[/tex]
Pastebėkim, kad jeigu [tex]n\geq 6[/tex], tai kairė lygybės pusė taps nelyginė. Vadinasi, reikia patikrinti atvejus, kai [tex]1\leq n \leq 5[/tex]. Taigi iš viso yra dvi [tex](n;k)[/tex] poros: [tex](4;5)[/tex] ir [tex](5;7)[/tex].

Užskaitau.

Funkcija [tex]f(x)[/tex] yra nelyginė atkarpoje [tex]\left [ -\frac{T}{2};\frac{T}{2} \right ][/tex], periodinė ir turi periodą, lygų [tex]T[/tex]. Įrodykite, kad [tex]\int_{a}^{x}f(t)dt[/tex] yra periodinė funkcija ir jos periodas lygus [tex]T[/tex].

O kas tas a? Ar tai bet koks realusis skaičius? O gal ten turėtų būti 0?