Matematikos Maratonas Nr. 4

mathfux, būtų gerai matyti, kad kas pildo jau atsakymą, nes dažnai tenka savęs klausti, kai rašau atsakymą, ar kas lygiagrečiai su manimi nedaro to paties, vėliau tenka nusivilti, supratus, jog pavėlavau :)

Tai gerai, čia reikia pajausti tą dvasią, kaip Stackoverflow, kai už poros minučių nuo klausimo supuola 4 atsakymai :D O šiaip tai Vitalijui sakyti čia reikia :)

Aš dabar bandausi ant kompo rašydamas, gal pavyks :)

Kai √a ir √b iracionalieji skaičiai, tai jų suma negali būti natūralusis skaičius
Čia reikėtų irgi patikslinti, jog a ir b yra racionalieji, nes priešingu atveju tvirtinimas nėra teisingas.

Manau pakaktų šįkart pasakyti, jog a ir b natūralieji, kas akivaizdu iš sąlygos. Bėda ta, jog tiek rašydamas tą teiginį pirmąkart, tiek paskiau jį taisydamas mąsčiau iš uždavinio formuluotės sekančių sąlygų rėmuose. Faktas priimant mano teiginį be konteksto jis reikalauja dar vieno pataisymo.

Nelabai man pavyksta suprasti, kokį čia teiginį bandoma ginti, bet pabandžiau nupiešti šio uždavinio schemą, kad neaiškių vietų visai nebūtų. Žodis ,,bekvadratis" reiškia skaičių, kuris neturi savo skaidinyje pirminių skaičių kvadratų

Matfux, man dar norėtųsi paaiškinimo, kaip pereini nuo 3 stačiakampio prie 4 ir nuo 4 prie 5 (stačiakampius skaičiuoju nuo viršaus).

3 -> 4. Pertvarkęs lygybę gaunu, kad $2\sqrt{n(n+2005)}$ yra dviejų sveikųjų skaičių skirtumas, vadinasi tai - sveikasis skaičius. Jei $\sqrt{n(n+2005)}$ būtų ne sveikasis, tai jis būtų iracionalusis, o jam dvigubas būtų taip pat iracionalusis. Vadinasi, tai yra sveikasis skaičius - pošaknis bus pilnas kvadratas.

4 -> 5. Labai praverčianti olimpiadose savybė. Imu bet kokią dviejų skaičių sandaugą $pq$, kuri yra pilnas kvadratas $r^2$. Skaidant tą kvadratą pirminiais dauginamaisiais gautume, kad skaidinyje kiekvienas pirminis daugiklis pasikartoja lyginį skaičių kartų. Tada $p$ yra gaunamas sudauginus vieną dalį šio skaidinio daugiklių, o $q$ - kažkokią likusią dalį. Skaičiuose $p$ ir $q$ tada išskiriame didžiausius daliklius $b$ ir $c$, kurie yra pilni kvadratai: $p = p_0b^2$ ir $q = q_0c^2$. Tuomet $p_0$ ir $q_0$ yra bekvadračiai skaičiai. Tačiau $pq = p_0q_0b^2c^2$ yra pilnas kvadratas, vadinasi $p_0q_0$ yra pilnas kvadratas. Bet kuris šio kvadrato daugiklis, kurį tik randame, pasitaiko lyginį skaičių kartų skaičių ir pakliūva vieną kartą į $p_0$ skaidinį, o kitą kartą į $q_0$ skaidinį (į kažkurį vieną dusyk negali pakliūti, nes jie bekvadračiai). Taip gauname, kad daugikliai išsigrupavo į dvi vienodas grupes, vadinasi $p_0 = q_0$.

Užskaitau mathfux sprendimą.

Įkelsiu panašų uždavinį į paskutinį čia matytą prieš atsinaujinimą.

Sudedant tam tikrus penkis natūraliuosius skaičius $a$, $b$, $c$, $d$ ir $e$ visais galimais būdais po tris, gaunamos 7 skirtingos sumos, o po keturis - penkios. Reikia įrodyti, kad visų tų penkių skaičių suma dalijasi iš 5 (Minskas, 2004, 7klasė).

Šį uždavinį aš įveikiau savo jėgomis, tačiau to panašaus neįveikiu. Galbūt galima pamatyti praeito uždavinio sprendimą su 16 skaičių?

Aš tik trumpam dar įsiterpsiu dėl savo sprendimo. Kaip suprantu manajame trūksta pagrindimo, jog vienintelis atvejis kada šaknų suma šiame konkrečiame reiškinyje gali būti natūralusis skaičius, tai kai pošakniai natūralieji skaičiai?