Matematikos valstybinis brandos egzaminas 2020

astiip: Šitas labiau konkursinis, o ne egzamininis :) Tegu kiti pagalvoja. Man pasirodė kiek nauja, kad tokios funkcijos iš viso dėsningumus turi su pakartotinėmis kompozicijomis.

mathfux uždavinio sprendimai:
1 būdas (taikant diferencialinį skaičiavimą):
Duota: [tex]xy=1[/tex]
Rasti: [tex]max(x+y)[/tex]
Raskime [tex]f(x)=x+\frac{1}{x}[/tex] išvestinę: [tex]f'(x)=1-\frac{1}{x^2}[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex] [tex]\rightarrow x=1[/tex]
Tada [tex]max(x+y)=2[/tex]
2 būdas (taikant AIG nelygybę):
[tex]\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\rightarrow \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{1}[/tex][tex]\ \rightarrow x+y\geq2[/tex]
[tex]max(x+y)=2[/tex]
Šiuo metu daugiau būdų neįžvelgiu. Tačiau manau, kad šį uždavinį galima spręsti pasitelkiant geometriją arba kordinačių sistemą (?). Bandžiau kažkaip susieti su stačiakampio plotu, bet galva nedirba..
P.S jeigu niekas nesiims spręsti mano uždavinio, artimiausiu metu įkelsiu sprendimą. Uždavinys gal ir atrodo sunkus, bet jis tikrai toks nėra, III egzamino dalyje tokio uždavinio manau būtų galima sulaukti.

astiip pirmajį sprendimo būdą jau buvau įkėlęs, bet jį matyt abu pražiopsojot :) Apie kitą sprendimo būdą lygiai tokį patį buvau pagalvojęs, tik glumina kiek klausimas, kaip šis uždavinys galėtų būti susijęs su prieš tai buvusiu uždaviniu, o gal yra dar kitas koks sprendimas?

Tomui: taip, tai vienintelis ,,oficialus" būdas, kurį žinau. Bet mes ir ne abiturientai. Gal tegul jie pabando?

Vis dėlto, su šitu tada užbaigsiu, kad visi labiau pagautų mano mintį. Gyvenimiškai kalbant, matematikoje yra vertinga atsakymą pasiekti keliais būdais. Per egzaminą geriau to nedaryti, bet įvertinti atsakymų adekvatumą ne pro šalį. Štai sprendimo būdai:
1 būdas. Taip, žinoma, čia išvestinės pagal programą.
2 būdas. Gali būti ir vidurkiai, kas žino papildomai, ne pagal programą. Pagal aritmetinio - geometrinio vidurkių nelygybę, $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$ Tad, jeigu $ab=1$, tai pusė sumos neviršys 1.
3 būdas. Ar galima kvadratą, kurio plotas 1 pakeisti į tokį jam lygiaplotį stačiakampį, kad jo pusperimetris sumažėtų? Atsakymas - negalima. Priežastis: jei tą būtų įmanoma padaryti, tai reikėtų palei kvadrato kraštą atpjauti tam tikro pločio S gabaliuką, o prie kito (gretimo) krašto pridėti mažesnio storio gabaliuką. Bet pridėtasis gabaliukas visuomet turės mažesnių matmenų kraštines už atimtą, todėl mažinant perimetrą gauto stačiakampio plotas taps mažesniu už 1.

astiip, tavo kito uždavinio sprendime $a_1$ ir $a_5$ yra tarpusavyje priklausomi dydžiai. Jų skirtumas irgi kažkaip nuo kiekvieno iš jų priklauso. Todėl negalima norint maksimizuoti skirtumą tvirtinti, kad $a_1$ mažiausias, o $a_5$ didžiausias (galbūt skirtumą pavyktų maksimizuoti abudu sumažinus arba padidinus). Priklausomybė gali būti tokia paini, kaip mano pasiūlytame uždavinyje. Tavo atsakymas geras, bet argumentai neteisingi.

Dar vienas būdas:
Susiraskime [tex]f(x)=x+\frac{1}{x}[/tex] atvirkštinę funkciją: [tex]f^{-1}(x)=\frac{x±\sqrt{x^2-4}}{2}[/tex]
[tex]E_f=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)[/tex]
Tai atsakymas: [tex]max(x+y)=2[/tex]

Va, astiip vidurkius žino iš kažkur, tai gal jie visgi įeina į programą. Trečias sprendimo būdas prieinamas pripratusiems prie matematinių tyrinėjimų. Visiška priešingybė egzaminui. Čia yra pasitelkiama vaizduotė tam, kad skaičių metaforiškai perkeltume į kažkokias kitokias figūras taip, kad naudojami veiksmai irgi gražiai persikeltų į tų figūrų operacijas. Kuo daugiau atrandame tokių sueinančių perkėlimų, tuo didesnis mūsų intelektas.

Aš pabandžiau paskaičiuoti $f(f(x))$ ir $f(f(f(x)))$. Dėsningumas lyg ir matyti. Galėčiau pamėginti įkelti sprendimą, jei esu teisingame kelyje, bet smagiau būtų, kad abiturientai pamėgintų. Ar man vis tiek kelti sprendimą?

astiip abiejuose sprendimuose sumaišei ir vietoje [tex]\textrm{min}[/tex] parašei [tex]\textrm{max}[/tex].
Spręsti būtų galima ir neieškant atvirkštinės.
Nagrinėjame su kuriomis parametro y reikšmėmis lygtis [tex]x+\dfrac{1}{x}=y[/tex] turi sprendinių:
[tex]x+\dfrac{1}{x}=y|\cdot x≠0\implies x^2-yx+1=0[/tex]
Ieškome, kada gauta kvadaratinė lygtis turi sprendinių:
[tex]D=y^2-4\cdot 1\cdot 1=y^2-4,\space D≥0\implies y^2-4≥0\implies |y|≥2[/tex]

Apie reikšmių srities ieškojimą nagrinėjant lygtis su parametru buvo šiame forume rašęs Sokolovas. Kas nori gali pasiskaityti čia: https://www.ematematikas.lt/forumas/funkcijos-reiksmiu-srities-radimas-t10448.html

Matot, kiek daug būdų vienam uždaviniui. Su atvirkštinės skaičiavimu ir man egzotika. Belieka tik generalizuoti (jei yra nepavargusių): įrodyti, kad $n$ teigiamų skaičių suma yra nemažesnė už $n$, kai jų sandauga lygi vienam ir būsim tobulai perėję visus uždavinio gvildenimo laiptelius.

astiip uždavinyje aš gavau: [tex]f_n(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}[/tex]

Dar būtų galima taikyti Lagranžo daugiklio metodą :D Olimpiadose įrodinėjant įvairiausias nelygybes arba ieškant mandrų funkcijų ekstremumų, kai duotos parametrinės lygtis, labai praverčia, nes nereikia mokintis papildomų nelygybių.
[tex]\mathcal{L}=x+y-λ(xy-1)[/tex]
[tex]\nabla\mathcal{L}=\begin{bmatrix} -λy+1  \\ -λz+1  \\  -(xy-1)  \end{bmatrix}=0\rightarrow (1;1;1)[/tex] arba [tex](-1;-1;-1)[/tex]
Tai ats [tex]min(x+y)=2[/tex]