Dar vienas: klasėje mokosi 28 mokiniai - 17 merginų ir 11 vaikinų. Lietuvių kalbos mokytoja kviečia prie lentos keturis mokinius. Kiek skirtingų galimybių ji turi taip pakviesti bent vieną merginą ir bent vieną vaikiną?
Tomas PRO +4543
Suskaičiuojame, kiek galimybių yra parinkti bet kokius 4 mokinius: [tex]C_{28}^4[/tex]. Suskaičiuokime, kiek yra galimybių parinkti tik merginas: [tex]C_{17}^4[/tex] Suskaičiuokime, kiek yra galimybių parinkti tik vaikinus: [tex]C_{11}^4[/tex] Vadinasi parinkti 4 mokinius tarp kurių būtų bent po vieną merginą ir bent po vieną vaikiną yra: [tex]C_{28}^4-(C_{17}^4+C_{11}^4)=20475-(2380+330)=20475-2710=17765[/tex]
Tomas PRO +4543
Uždavinys: Apskritimo spindulys r = 10 cm. Per apskritimo tašką A nubrėžta liestinė. Kokiu atstumu nuo taško A reikia brėžti liestinei lygiagrečią stygą BC, kad trikampio ABC plotas būtų didžiausias?
astiip +235
Ar atsakymas 10 cm? [tex]AB=AC[/tex] [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB^2\cdot \sin \alpha [/tex] Plotas bus dižiausias, kai [tex]\sin \alpha=1[/tex]. Vadinasi, trikampis yra statusis. [tex]\frac{BC}{\sin \alpha}=2R\rightarrow BC=20[/tex] (cm) [tex]AB^2=200 \rightarrow AB=10\sqrt{2}[/tex] Tai atstumas [tex]d[/tex]: [tex]d=\sqrt{200-100}=10[/tex] (cm)
pakeista prieš 3 m
Tomas PRO +4543
Atsakymas neteisingas. Neteisingas teiginys:
Plotas bus dižiausias, kai [tex]\sin\alpha=1[/tex]
astiip +235
Sprendimas man gavosi labai griozdiškas, daug skaičiavimų, bet gavau [tex]d=15[/tex] cm. Jei atsakymas yra geras, būtų labai gerai pamatyti jūsų siūlomą sprendimą.
pakeista prieš 3 m
Tomas PRO +4543
Tik ne kvadratiniai, o paprasti centimetai. Dabar atsakymas geras. Sprendimas: Spindulys AO bus statmenas stygai BC, nes AO statmena liestinei, o liestinė ir styga BC lygiagrečios. Tada ieškomą mažiausią atstumą žymime [tex]x[/tex], o [tex]BD=DC=y[/tex]. Iš stačiojo trikampio BDO turime, kad: [tex]y^2+(10-x)^2=10^2\implies y=\sqrt{20x-x^2},\space x∈[0;20][/tex] Tada [tex]S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}\cdot x\cdot 2y=xy[/tex]. Taigi ploto funkcija: [tex]S(x)=x\sqrt{20x-x^2},\space x∈[0;20][/tex]. [tex]S'(x)=\sqrt{20x-x^2}+\dfrac{x(10-x)}{\sqrt{20x-x^2}}[/tex] [tex]S'(x)=0\implies x=15[/tex] [tex]S(0)=0\\S(15)=75\sqrt{3}\\S(20)=0[/tex] Ats.: 15 cm.
astiip +235
Supratau. Man gavosi ploto funkcija [tex]S(\alpha )=100\sin^2 \alpha\cdot \cot \frac{\alpha }{2}[/tex], kai [tex]d=10\sin \alpha \cdot \cot \frac{\alpha }{2}[/tex]. Tai buvo ką veikti :D Bet visgi iš kur žinoti, kad [tex]BC[/tex] yra pirmoje apskritimo pusėje? Nes vizualiai man iš pradžių nusibražius brėžinį atrodė, kad plotas trikampio tūrėtų būti didžiausias, kai kampas prieš pagrindą bus smailusis.
