eMatematikas Paieška

Matematikos Maratonas Nr. 4

Olimpiados Peržiūrų skaičius (9819)

Gerai.

0

Perleidziu teise kitam ikelt uzdavini

0

Su kokiomis realiosiomis parametro  [tex]a[/tex]  reikšmėmis lygtis

[tex]\sqrt{a+\sqrt{a+sinx}}=sinx[/tex]

turi sprendinių ?

0

Sprendimas:
[tex]t=sinx\in [0;1][/tex]
Gauname lygtį
[tex]\sqrt{a+\sqrt{a+t}}=t.[/tex],    [tex]t\in [0;1][/tex]

Dar pakeitę kintamąjį [tex]y=\sqrt{a+t}[/tex],  gauname sistemą

[tex]\sqrt{a+t}=y[/tex]
[tex]\sqrt{a+y}=t[/tex]

Kadangi funkcija  [tex]f(t)=\sqrt{a+t}[/tex]  yra didėjanti, tai pastaroji sistema yra ekvivalenti lygčiai
y=t,  t.y.
[tex]\sqrt{a+t}=t[/tex],  [tex]t\in [0;1][/tex]
Taigi,
[tex]a=t^{2}-t,[/tex]
[tex]t\in [0;1][/tex]
Randame funkcijos
[tex]a(t)=t^{2}-t[/tex]
reikšmių aibę atkarpoje [tex]t\in [0; 1][/tex]
Tai galima padaryti, pavyzdžiui, grafiškai.
Gauname ATSAKYMĄ:
[tex]a\in [-\frac{1}{4};0][/tex]






0

UŽDAVINYS:
ABC-lygiašonis trikampis, [tex]CA=CB\neq AB[/tex]
Aukštinės, nubrėžtos į šoninę kraštinę CA, ilgis yra lygus x. Aukštinės, nubrėžtos į lygiašonio trikampio pagrindą AB, ilgis yra lygus y.
a)  Įrodykite, kad[tex]x< 2y[/tex]
b)  Žinoma, jog šio trikampio ĮBRĖŽTINIO apskritimo spindulys [tex]r=3[/tex],  o aukštinių ilgiai x ir y- natūralieji skaičiai. Raskite galimas y reikšmes.

0

Sprendimas:
a)  Taikome trikampio nelygybę:
[tex]CA+CB> AB[/tex]
Tegu S-trikampio ABC plotas. Tuomet
[tex]\frac{2S}{x}+\frac{2S}{x}> \frac{2S}{y}[/tex]
t.y. [tex]x< 2y[/tex]    (1)

b)  Iš pradžių įrodysime bet kokiam trikampiui tinkančią formulę. Jei trikampio kraštinių ilgiai yra a, b, c, jos statmenų aukštinių ilgiai yra [tex]h_{a}, h_{b}, h_{c}[/tex]
tai [tex]\frac{1}{r}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}[/tex]
kur r-trikampio įbrėžtinio apskritimo spindulys.
Tikrai, pagal žinomas formules
[tex]\frac{1}{r}=\frac{p}{S}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}[/tex]
Kadangi r=3, tai gauname lygtį
[tex]\frac{1}{3}=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}[/tex]
Iš čia gauname
[tex]x=6+\frac{18}{y-3}[/tex]

y=4, tuomet x=24 . Netinka nelygybei (1)
y=5,  tuomet  x=15.  Netinka nelygybei (1)
y=6, tuomet  x=12.  Netinka nelygybei (1)
y=9, tuomet x=9.  Netinka, nes trikampis nėra lygiakraštis.
y=12, tuomet x=8
y=21, tuoet x=7
Atsakymas: y=12 arba y=21.

0

NAUJAS (dviejų dalių) UŽDAVINYS:
Tegu O-trikampio ABC apibrėžtinio apskritimo centras, H-šio trikampio aukštinių susikirtimo taškas, E- šio trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taškas.
a) Įrodykite, jog
[tex]\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}[/tex]

b) Įrodykite Oilerio teoremą: Bet kokio trikampio apibrėžtinio apskritimo centras O, aukštinių susikirtimo taškas H, bei pusiaukraštinių susikirtimo taškas E yra vienoje tiesėje. Beje,
[tex]OE=\frac{1}{2}EH[/tex]


0

UŽDAVINIO SPRENDIMAS:
a)  Vektorių [tex]\vec{OA}[/tex] ir [tex]\vec{OB}[/tex] suma yra vektorius
[tex]\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OB}[/tex]
Šio vektoriaus galas D yra ROMBO  OADB viršūnė, todėl šio rombo įstrižainė OD yra statmena kitai šio rombo įstrižainei AB.
Toliau sudarome vektorių [tex]\vec{OF}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OD}+\vec{OC}[/tex]
Aiišku, jog šio vektoriaus galas F yra LYGIAGRETAINIO OCFD viršūnė, ir todėl atkarpa CF yra lygiagreti OD, t.y. STATMENA kraštinei AB.
Vadinasi, taškas F priklauso trikampio AUKŠTINEI, nubrėžtai iš viršūnės C.
Analogiškai įrodoma, jog taškas F priklauso trikampio ABC aukštinėms, nubrėžtoms iš viršūnių A ir B.
Vadinasi, taškas F sutampa su aukštinių susikirtimo tašku H. Teiginys įrodytas.
b)  Jei E yra trikampio ABC pusiaukraštinių susikirtimo taškas, tai
[tex]\vec{OE}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})[/tex]
Beje, pastaroji lygybė teisinga bet kokiam plokštumos taškui O, tuo tarpu šiuo atveju tai trikampio ABC apibrėžtinio apskritimo centras.
Vadinasi,
[tex]\vec{OE}=\frac{1}{3}\vec{OH}[/tex],
[tex]\vec{EH}=\vec{OH}-\vec{OE}=3\vec{OE}-\vec{OE}=2\vec{OE}[/tex]
Taigi, vektoriai
[tex]\vec{EH}[/tex]  ir  [tex]\vec{OE}[/tex]
yra kolinearūs. Tai reiškia, jog trikampio ABC apibrėžtinio apskritimo centras O, pusiaukraštinių susikirtimo taškas E, ir aukštinių susikirtimo taškas H yra vienoje tiesėje. Taip pat įrodyta, jog EH=2OE, t.y.
[tex]OE=\frac{1}{2}EH.[/tex]


0

NAUJAS UŽDAVINYS
Suintegruokite neapibrėžtinį integralą:
[tex]\int \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+e^{x}+1}dx[/tex]

0

$$\int{\frac{(x-1)^2}{x^2+e^x+1}dx}=\int{\frac{x^2-2x+1}{x^2+e^x+1}dx}=\int{\frac{x^2+e^x+1}{x^2+e^x+1}dx}-\int{\frac{2x+e^x}{x^2+e^x+1}dx}=$$
$$\int{dx}-\int{\frac{d(x^2+e^x+1)}{x^2+e^x+1}}=x-\ln{(x^2+e^x+1)}+C$$

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!