Matematikos Maratonas Nr. 4

Taip, gerai.

NAUJAS UŽDAVINYS

[tex]a_{1}=1[/tex], [tex]a_{n}=n(a_{n-1}+1)[/tex], kai [tex]n> 1[/tex],
Apskaičiuokite ribą
[tex]lim\prod_{n=1}^{N}(1+\frac{1}{a_{n}})[/tex],  kai  [tex]N\rightarrow \infty[/tex]

Pasižymėkim $$S(N)=\prod_{n=1}^{n}(1+\frac{1}{a_n})=\prod_{n=1}^{n}(\frac{a_n+1}{a_n})=(a_N+1)(\frac{a_{N-1}+1}{a_N})...(\frac{a_{N-k}+1}{a_{N-k+1}})...(\frac{a_{1}+1}{a_2})$$
Kadangi $$\frac{a_{n-1}+1}{a_n}=\frac{1}{n},$$ tai
$$S(N)=\frac{a_{N}+1}{N!}.$$
Raskime [tex]a_n[/tex].
$$a_n=n(a_{n-1}+1)=(n-1)n(a_{n-2}+1)+n=$$$$(n-k)...n(a_{n-k-1}+1)+\sum_{m=1}^k\prod_{l=1}^{m}(n-l+1)=n!*2+n!\sum_{m=1}^{n-2}\frac{1}{(n-m)!}=$$$$n!*\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}$$
Taigi, $$\lim_{N \to \infty}S(N)=\lim_{N \to \infty}\frac{N!*\sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{k!}+1}{N!}=e.$$

Puiku!
Dabar įdėkite savo uždavinį.

Įrodykite, kad kiekvienam natūraliajam n $$n=\sum_{k \geq0} \Bigl\lfloor\dfrac{n+2^k}{2^{k+1}}\Bigr\rfloor$$

Užrašykime [tex]n[/tex] dvejetainėje sistemoje: $$n=\epsilon_0+\epsilon_12+...+\epsilon_k2^k, \;\;\;\epsilon_i \in \{0, 1\},\;\;\; k = \lfloor\log_2{n}\rfloor.$$

Įrodykime, kad [tex]\big\lfloor\frac{n+2^i}{2^{i+1}}\big\rfloor = \epsilon_i+\epsilon_{i+1}+\epsilon_{i+2}2+...+\epsilon_{k}2^{k-i-1}.[/tex]
Jei [tex]\epsilon_i=0[/tex], turim [tex]\big\lfloor\frac{n+2^i}{2^{i+1}}\big\rfloor=\big\lfloor\frac{\epsilon_i2^i+\epsilon_{i+1}2^{i+1}+\epsilon_{i+2}2^{i+2}+...+\epsilon_{k}2^{k}}{2^{i+1}}+\frac{\epsilon_0+\epsilon_{1}2^{1}+\epsilon_{2}2^{2}+...+\epsilon_{i-1}2^{i-1}+2^i}{2^{i+1}}\big\rfloor=\epsilon_i+\epsilon_{i+1}+\epsilon_{i+2}2+...+\epsilon_{k}2^{k-i-1},[/tex][tex]\frac{\epsilon_0+\epsilon_{1}2+\epsilon_{2}2^{2}+...+\epsilon_{i-1}2^{i-1}+2^i}{2^{i+1}}\leq\frac{1+2+2^{2}+...+2^{i-1}+2^i}{2^{i+1}}=\frac{2^{i+1}-1}{2^{i+1}}<1[/tex]
Jei [tex]\epsilon_i=1[/tex], turim [tex]\big\lfloor\frac{n+2^i}{2^{i+1}}\big\rfloor=\big\lfloor\frac{\epsilon_i2^{i+1}+\epsilon_{i+1}2^{i+1}+\epsilon_{i+2}2^{i+2}+...+\epsilon_{k}2^{k}}{2^{i+1}}+\frac{\epsilon_0+\epsilon_{1}2^{1}+\epsilon_{2}2^{2}+...+\epsilon_{i-1}2^{i-1}}{2^{i+1}}\big\rfloor=\epsilon_i+\epsilon_{i+1}+\epsilon_{i+2}2+...+\epsilon_{k}2^{k-i-1},[/tex][tex]\frac{\epsilon_0+\epsilon_{1}2+\epsilon_{2}2^{2}+...+\epsilon_{i-1}2^{i-1}}{2^{i+1}}\leq\frac{1+2+2^{2}+...+2^{i-1}}{2^{i+1}}=\frac{2^{i}-1}{2^{i+1}}<1.[/tex]

Taigi,
[tex]\big\lfloor\frac{n+1}{2}\big\rfloor = \epsilon_0+\epsilon_{1}+\epsilon_{2}2+...+\epsilon_{k-1}2^{k-2}+\epsilon_{k}2^{k-1},[/tex]
[tex]\big\lfloor\frac{n+2}{2^{2}}\big\rfloor =\;\;\;\;\;\;\; \epsilon_1+\epsilon_{2}+\;...\;+\epsilon_{k-1}2^{k-3}+\epsilon_{k}2^{k-2},[/tex]
[tex]\big\lfloor\frac{n+2^2}{2^{3}}\big\rfloor = \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\epsilon_{2}+\;...\;+\epsilon_{k-1}2^{k-4}+\epsilon_{k}2^{k-3},[/tex]
[tex]...[/tex]
sudėję gaunam norimą rezultatą.

Norėčiau praleist ėjimą.

UŽDAVINYS:
Tegu [tex]a, b, c[/tex]-trikampio kraštinių ilgiai.
Įrodykite, jog yra teisinga nelygybė:

[tex]\frac{3}{2}\leq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2.[/tex]

ĮRODYMAS:
Pažymėsime nelygybėje esančią trijų trupmenų sumą S
1) Įrodysime, jog [tex]S\geq \frac{3}{2}[/tex]
Dviems rinkiniams (vektoriams)
[tex]\vec{A}=(\sqrt{b+c},\sqrt{a+c}, \sqrt{a+b})[/tex] ir
[tex]\vec{B}=(\frac{1}{\sqrt{b+c}},\frac{1}{\sqrt{a+c}}, \frac{1}{\sqrt{a+b}})[/tex]
taikome Koši-Buniakovskio nelygybę
[tex](\vec{A}\vec{B})^{2}\leq |\vec{A}|^{2}|\vec{B|^{2}}[/tex]
Gauname
[tex]9\leq 2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})[/tex]
Iš čia gauname
[tex]9\leq 2(S+3)[/tex]
t.y.
[tex]S\geq \frac{3}{2}[/tex]
2)  Įrodysime, jog [tex]S< 2[/tex]
Laikykime, jog [tex]a\leq b\leq c[/tex]
Kadangi, pagal trikampio nelygybę,
[tex]a+b> c[/tex]
tai
[tex]S< \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+1\leq \frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}+1=2[/tex]
Įrodyta.

NAUJAS UŽDAVINYS:
a) Lentynoje iš eilės yra sudėta 12 skirtingų knygų. Atsitiktinai atrenkame 5 knygas.
Įvykis A- jokios dvi iš penkių atrinktų knygų nebuvo lentynoje greta.
Įrodykite, jog įvykio A tikimybė
[tex]P(A)=\frac{7}{99}[/tex]
b)  Prie apskrito stalo ("ratu") susėdo 12 žmonių. Atsitiktinai atrenkami penki žmonės.
Įvykis B- jokie du iš penkių atrinktų žmonių prie stalo nesėdėjo greta.
Apskaičiuokite įvykio B tikimybę P(B).