eMatematikas Paieška

Matematikos Maratonas Nr. 4

Olimpiados   Peržiūrų sk. (11066)

Nagrinėkime bendresnį atvejį:

Tarkime, kad turime [tex]n[/tex] skirtingų objektų sudėtų į eilę. Iš jų reikia išrinkti [tex]m \leq\big\lfloor\frac{n+1}{2}\big\rfloor[/tex] objektų taip, kad jokie du iš pasirinktų nebūtų šalia vienas kito. Kiek yra išrinkimo būdų?

Tarkime, [tex]x_1, x_2, x_3, ..., x_{m+1}[/tex] - nepasirinktų objektų kiekiai t.y. [tex]x_1[/tex] lygus nepasirinktų objektų skaičiui tarp krašto ir kairiausio pasirinkto objekto, , [tex]x_2[/tex] - tarp kairiausio pasirinkto ir antro pasirinkto iš kairės, ir t.t. Tada problema susiveda į lygties sprendimą:
$$x_1+x_2+..+x_{m+1}=n-m\;\;\; x_1, x_{m+1}\geq 0, \;\;\;x_2,x_3,...,x_m \geq 1$$
arba
$$y_1+y_2+..+y_{m+1}=n-m-(m-1)\;\;\;y_1,y_2,...,y_{m+1} \geq 0$$$$\;\;\;y_1=x_1,y_{m+1}=x_{m+1},y_i=x_i-1, 2\leq i \leq m.$$ Gerai žinoma, kad pastarosios lygties sprendinių skaičius $$\frac{(n-m-(m-1)+m)!}{m!(n+1-2m)!}={n+1-m\choose m}$$

Taigi, ats.: [tex]{n+1-m\choose m}[/tex].

a) $$P(A)=\frac{{12+1-5\choose 5}}{{12\choose 5}}=\frac{7}{99}$$
b) Nagrinėkim kurį nors žmogų. Jei tas žmogus atrinktas, tada gretimi jam negali būti atrinkti ir todėl gauname į eilę sudodintus [tex]12 - 3[/tex] žmonių, iš kurių reikia išrinkti [tex]4[/tex]. Šiuo atveju gauname [tex]{6\choose 4}[/tex].
Jei tas žmogus neatrinktas, tai gauname į eilę susodintus [tex]12 - 1[/tex] žmonių, iš kurių reikia išrinkti [tex]5[/tex]. Šiuo atveju gauname [tex]{7\choose 5}[/tex]. Taigi, visų galimybių skaičius $${6\choose 4}+{7\choose 5}=36$$
Tikimybė $$P(B)=\frac{36}{{12\choose 5}}=\frac{1}{22}.$$

Paskutinį kartą atnaujinta 2020-03-03

0

Viskas gerai.

0

Įrodykite, kad kiekviename [tex]16[/tex] teigiamų skirtingų sveikųjų skaičių, nedidesnių už [tex]100[/tex], rinkinyje yra [tex]4[/tex] tokie skaičiai [tex]a,b,c,d[/tex], kad [tex]a+b=c+d[/tex].

Paskutinį kartą atnaujinta 2020-03-04

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!